$\underset{x\to 0}{\overset{}{\int }}x\frac{1-\cos x}{{\sin }^{2}2x}$ এর মান কোনটি?

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত লিমিটটি হলো:

\[ \lim_{x \to 0} x \frac{1 - \cos x}{\sin^2 2x} \]

যদি প্রদত্ত প্রশ্নটি অবিকল এমনটিই থাকে, তাহলে এর মান হবে 0। কারণ, \(x \to 0\) হলে \(1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}\) এবং \(\sin^2 2x \approx (2x)^2 = 4x^2\)।

তাহলে, \( \lim_{x \to 0} x \frac{x^2/2}{4x^2} = \lim_{x \to 0} x \frac{1}{8} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{8} = 0 \)।

কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 0 নেই। তাই ধরে নেওয়া হচ্ছে যে প্রশ্নে numerator-এ থাকা অতিরিক্ত \(x\) একটি মুদ্রণজনিত ত্রুটি এবং প্রশ্নটি নিম্নরূপ হবে:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin^2 2x} \]

এই লিমিটটি \(\frac{0}{0}\) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ। এটি সমাধানের জন্য আমরা দুটি আদর্শ লিমিট সূত্র ব্যবহার করব:

১. \( \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2} \)

২. \( \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \)

এখন, প্রদত্ত লিমিটকে এই সূত্রগুলো প্রয়োগ করার উপযোগী করে সাজাই:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin^2 2x} \]

Numerator-এর জন্য \((1 - \cos x)\) কে \(x^2\) দ্বারা ভাগ ও গুণ করি, এবং Denominator-এর জন্য \(\sin^2 2x\) কে \((2x)^2\) দ্বারা ভাগ ও গুণ করি:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2 2x} \]

এখন, দ্বিতীয় অংশটিকে আরও সরল করি:

\[ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{(2x)^2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{4x^2 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{4 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2} \]

লিমিট অপারেটরকে আলাদা করে লিখি:

\[ = \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2} \right) \]

আদর্শ সূত্র প্রয়োগ করে মান বসাই:

\[ = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{4 \cdot (1)^2} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{8} \]

সুতরাং, প্রশ্নের (সংশোধিত রূপের) সঠিক মান হলো \( \frac{1}{8} \)।